Навіть якщо ви нескінченно далекі від математики, фрактали вам напевно знайомі. Нескінченні лінії, що химерно вигинаються, самоповторюються, мають гарний і загадковий вигляд. Однак математична суть фракталів вражає навіть більше, ніж їхній вигляд. Фрактали - ні що інше як описаний формулами хаос.

Насправді жодних фракталів у природі існувати не повинно. Це абсолютно неможливі та контрінтуїтивні явища. Самі судіть, чи може в нормальному світі існувати фігура, чий периметр одночасно обмежений і нескінченний? Та й взагалі чи може один і той самий об'єкт поєднувати в собі обмеженість і нескінченність? Фрактали - можуть. Можливо, з цієї причини математики протягом багатьох століть ходили навколо них, випадково натикалися, але тільки в середині XX століття нарешті повірили в їхнє існування. 

Що взагалі таке фрактал? Насправді, "фрактал" - це не науковий термін, це просто зручне слово для позначення групи вельми незвичайних об'єктів. Щоб заслужити звання фрактала, об'єкт повинен мати мінімум одну з таких ознак. По-перше, він має бути самоподібним - кажучи простіше, кожна з його частин має бути схожа на об'єкт загалом. Класичний приклад - дерево: кожна його гілка з безліччю маленьких гілочок і сучків нагадує дерево в цілому. По-друге, об'єкт повинен мати нетривіальну структуру. Інакше кажучи, якщо розглядати дуже-дуже маленький фрагмент будь-якої фігури, наприклад, кола, то він нагадуватиме нам пряму лінію. А як завгодно крихітний фрагмент фрактала нагадуватиме фрактал загалом. Скільки б ми не збільшували масштаб, ми ніколи не дійдемо до прямої лінії - фрактал буде нескінченно "провалюватися" всередину самого себе. До речі, цікаве запитання, як же в такому разі виміряти його довжину... Багато вчених задавалися ним, до речі. Можливо, якщо людство на нього відповість, то осягне суть буття, або зламає матрицю, або ще щось у такому дусі.

Можливо, світ би й не дізнався про існування фракталів, якби не дві видатні особистості. Перша - Вацлав Серпінський, польський математик, одержимий множинами і нескінченністю. Саме з них усе й почалося. Сам Серпінський навіть називав себе "дослідником нескінченності". У процесі своїх досліджень він виявив, що піти в нескінченність можна, просто почавши ділити на частини звичайний квадрат! Але ділити його треба особливим чином: уявіть, що у вас є квадрат, розділіть його подумки на 9 квадратів трохи менше, щоб вийшла конструкція 3х3, а потім приберіть середній квадрат, щоб у середині виявилося порожнє місце. Потім візьміть по черзі решту 8 квадратів, що залишилися, і з кожним із них зробіть те ж саме - поділіть 3х3 і приберіть середню частину. Потім зробіть те саме з кожним із 64 квадратів, що вийшли...

Якщо повторити цю процедуру кілька разів, у нас вийде квадрат, суцільно вкритий порожнечами, що нескінченно зменшуються. Не потрібно навіть виходити за його межі, щоб провалитися в справжнісіньку нескінченність. Такий об'єкт називається "килим Серпінського" і являє собою один із перших описаних фракталів.  Існує і трикутний варіант такого "килима": він так і називається - трикутник Серпінського, або ще іноді "серветка Серпінського", і серед фракталів він один із найзагадковіших, але до нього ми повернемося трохи згодом.

Квадрат і трикутник Серпінського

До речі, свої експерименти з нескінченністю Серпінський проводив у стінах Львівського університету, де починав свою академічну кар'єру. Тож навіть у вивченні фракталів можна знайти щось українське!

Друга видатна особистість - Бенуа Мандельброт, єврейсько-французько-американський учений, систематизатор хаосу, фантазер, романтик від геометрії, тотально одержимий фракталами. Власне, саме йому ми зобов'язані самим словом "фрактал". Мандельброт сам його вигадав: у своїй книзі "Фрактальна геометрія природи" 1977 року він пояснює, що утворив його від латинського fractus - "розбитий на частини" (а ще, що наголос у ньому потрібно ставити на перший склад!). 

Ідея фракталів спала йому на думку, коли він задумався про геометрію природних форм. У природі важко знайти ідеально правильні геометричні об'єкти - наприклад, пряму або сферу. У світі повно, як писав Мандельброт, "шорсткостей" - але чи означає це, що природа хаотична? Зовсім ні! Будь-які "шорсткості", навіть найбільш непередбачувані, підкоряються власним законам. Просто ці закони сильно відрізняються від звичної нам геометрії... "Хмари - не сфери, гори - не конуси, берегові лінії - не кола, кора - не гладенька, а блискавка не рухається по прямій" - з таких слів Мандельброт починає свою "Фрактальну геометрію природи". І пояснює, що будь-який зовнішній хаос насправді має свій устрій, а "непередбачувані" форми хмар, гір, деревних крон і навіть людських кровоносних судин прекрасно вкладаються в геометрію форм, що відтворюються і є самоподібними.

Блискавка - теж свого роду фрактал

Ідея про природність фракталів прийшла йому в голову під час вивчення такого явища, як парадокс Річардсона. Тут варто зробити невеликий відступ. Британський математик і старший сучасник Мандельброта Льюїс Фрай Річардсон узагалі-то не збирався вивчати фрактали і нескінченність. Його науковим інтересом була можливість наукового прогнозування ймовірних конфліктів між країнами: будучи переконаним пацифістом, Річардсон сподівався вивести певні закономірності, які допоможуть у майбутньому уникати воєн. Він припустив, що ймовірність конфлікту двох країн пов'язана з протяжністю спільного кордону і помітив, що країни по обидва боки кордону вимірюють її по-різному. Так, наприклад, португальці стверджували, що їхній спільний кордон з Іспанією становить 987 км. Водночас іспанці стверджували, що довжина спільного кордону 1214 км! Звідки взявся розкид у понад 200 км?! Виявилося, що іспанці та португальці вимірюють кордон із різним масштабом: португальці - з меншим, не беручи до уваги різні дрібні уступи та нерівності рельєфу, а іспанці - з більшим, ретельно фіксуючи всі ландшафтні дрібниці. Так було сформульовано парадокс Річардсона або парадокс берегової лінії: що менша мірка, якою вимірюється протяжність природної ділянки землі (тієї самої берегової лінії або державного кордону), то більшою буде ця протяжність. 

Бенуа подивився на це і сказав: так мірку ж можна зменшувати нескінченно! Можна вимірювати берегову лінію кілометрами, не зважаючи на виступи та скелі, які значно менші; можна метрами, нехтуючи окремими великими валунами; можна сантиметрами, міліметрами, піщинками, ретельно проміряючи кожну нерівність... Вимірювання загрожують стати безкінечними, а все тому, що будь-яка берегова лінія - фрактал. Він нескінченно самовідтворюється в масштабі: спочатку ми бачимо миси і затоки, злегка збільшивши масштаб - виступи і бухти, ще трохи збільшивши - каміння, що виступає у воду, і невеликі западини... Виходить, що фрактали створює сама природа! 

Фрактали, пише Мандельброт, буквально оточують нас. Фрактальними властивостями володіють дерева, блискавки, жилки на листках і кровоносні судини, гірські хребти, дельти річок, корали, сніжинки... Багато явищ, які здаються хаотичними, насправді організовані у вигляді фракталів. Мандельброт напевно був би радий дізнатися, що за останні кілька років учені встигли виявити кілька видів равликів, у яких візерунок на мушлі відтворює трикутник Серпінського. А цього року було відкрито фермент цитратсинтазу, молекули якого організовуються в трикутник Серпінського природним чином! 

 

Раковина равлика Oliva Porphyria

 

Що ж виходить? Невже хаосу і безладу насправді не існує? Виходить, що хаос - це просто система, яку ми ще не вивчили? Фрактали змушують серйозно замислитися над устроєм цього світу... А ще фрактальний живопис - це гарно і дивовижним чином розслабляє. Мандельброт пояснював це тим, що фрактали природні для всього живого, тому їхнє споглядання заспокоює. До речі, він був першим, хто придумав візуалізувати фрактали за допомогою комп'ютера; фактично, він і створив фрактальний живопис, зайвий раз довівши нам, що хаосу не існує, а закони світобудови можуть бути дуже красивими.

Женя Орінго